Question

5．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 構造并可判斷數列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1為首項，1為公差的等差數列，從而求S_n，再求a_n．

解答 解：∵S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
而$\sqrt{{S}_{1}}$=1，
故數列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1為首項，1為公差的等差數列，
故$\sqrt{{S}_{n}}$=n，
故S_n=n²，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$=n+n-1=2n-1，
當n=1時也滿足a_n=2n-1；
故a_n=2n-1．

點評 本題考查了數列的遞推式的應用及構造法的應用，屬于中檔題．