Question

4．△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若4$\sqrt{3}$S=（a+b）²-c²，則角C的大小為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意和三角形的面積公式以及余弦定理可得$\sqrt{3}$sinC=cosC+1，再由和差角的三角函數(shù)公式和三角形內(nèi)角的范圍可得．

解答 解：∵△ABC中4$\sqrt{3}$S=（a+b）²-c²，
∴4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$absinC=a²+b²-c²+2ab，
∴由余弦定理可得2$\sqrt{3}$absinC=2abcosC+2ab，
約掉2ab可得$\sqrt{3}$sinC=cosC+1，即$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
∴2sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，故sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或C-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$或C=π（舍去）
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查正余弦定理解三角形以及三角形的面積公式，涉及和差角的三角函數(shù)公式，屬中檔題．