19.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)在圓O:x2+y2=4上,∠P1OP2=θ(θ為鈍角),sin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{3}$,則x1x2+y1y2=( 。
A.$\frac{{2\sqrt{2}+8}}{3}$B.$\frac{{2\sqrt{2}-4}}{3}$C.$\frac{{2\sqrt{2}+4}}{3}$D.$\frac{{2\sqrt{2}-8}}{3}$

分析 由題意可得θ+$\frac{π}{4}$為鈍角,求出cos(θ+$\frac{π}{4}$)的值,可得cosθ=cos[($\frac{π}{4}$+θ)-$\frac{π}{4}$]的值,再根據(jù)x1x2+y1y2=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$=|$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$|cosθ,計(jì)算求得結(jié)果.

解答 解:由,∠P1OP2=θ(θ為鈍角),sin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{3}$,可得θ+$\frac{π}{4}$為鈍角,故cos(θ+$\frac{π}{4}$)=-$\sqrt{{1-sin}^{2}(\frac{π}{4}+θ)}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴cosθ=cos[($\frac{π}{4}$+θ)-$\frac{π}{4}$]=cos(θ+$\frac{π}{4}$)cos$\frac{π}{4}$+sin(θ+$\frac{π}{4}$)sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$.
再根據(jù)x1x2+y1y2=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$=|$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$|cosθ=2×2×$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}-8}{3}$,
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的余弦公式,兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,判斷θ+$\frac{π}{4}$為鈍角,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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