Question

17．已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等實數(shù)根，求f（x）的解析式．
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0在R上有解，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若關(guān)于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，且關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求實數(shù)a的取值集合及$\sum_{i=1}^4{x_i}$的值．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，結(jié)合不等式的解集，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可求f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0在R上有解，則函數(shù)的最大值為正，進(jìn)而得到實數(shù)a的取值范圍．
（3）若關(guān)于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，則$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$=-2，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）+2x＞0解集為（1，3），
∴可設(shè)f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0
∴f（x）=ax²-（2+4a）x+3a
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0，
∵方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，
∴△=0⇒a=1或$-\frac{1}{5}$，而a＜0，
∴$a=-\frac{1}{5}$，
∴$f（x）=-\frac{1}{5}{x^2}-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}$
（2）f（x）=ax²-2（1+2a）x+3a，（a＜0）
由關(guān)于x的不等式f（x）＞0在R上有解，
∵$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}＞0\end{array}\right.$
解得$a＜-2-\sqrt{3}$或$-2+\sqrt{3}＜a＜0$
∴實數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-2-\sqrt{3}）∪$$（-2+\sqrt{3}，0）$．
（3）∵關(guān)于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，
∴$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$=-2，且a＜0，
∴a=-1，
∴a∈{-1}，
∴f（x）=-x²+2x-3，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
若關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₂+x₃=2，x₁+x₄=2，
∴$\sum_{i=1}^4{x_i}=4$

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵