Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），a₁=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺）變形可知數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a_n=2^n-1+1可知na_n=n•2^n-1+n，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N⁺），
又∵a₁-1=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n-1=1•2^n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1；
（Ⅱ）解：∵a_n=2^n-1+1，
∴na_n=n•2^n-1+n，
設(shè)T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減得：-T_n=（1+2¹+2²+2³+…+2^n-1）-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1，
∴S_n=T_n+$\frac{n（n+1）}{2}$=（n-1）•2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．