Question

1．已知在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，若a=1，$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC，則R的值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可化$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC為$\frac{3}{2}$b²+$\frac{7}{2}$c²-a²=bcsinA，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化為：2（sinA-2cosA）=$\frac{c}$+$\frac{5c}$，再利用基本不等式的性質(zhì)得出sinA，即可求出R．

解答 解：由正弦定理可化$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC為$\frac{3}{2}$b²+$\frac{7}{2}$c²-a²=bcsinA，
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，代入上式可得：
2（sinA-2cosA）=$\frac{c}$+$\frac{5c}$≥2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{5}$c時(shí)取等號(hào)．
即2$\sqrt{5}$sin（A-θ）≥2$\sqrt{5}$，其中tanθ=2．
即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，
∴sin（A-θ）=1．
∴A-θ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即A=θ+$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈N^*．
∴tanA=tan（θ+$\frac{π}{2}$+2kπ）=tan（θ+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{1}{2}$，
∴A∈（0，π），sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵a=1，
∴2R=$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$，
∴R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．