Question

10．2016年全國(guó)高考將有25個(gè)省市使用新課標(biāo)全國(guó)卷，其中數(shù)學(xué)試卷最后一題為選做題，即要求考生從選修4-1（幾何證明選講）、選修4-4（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）、選修4-5（不等式選講）的三道題中任選一道題作答．某數(shù)學(xué)老師教了高三A、B兩個(gè)理科班共100名學(xué)生，為了了解所教學(xué)生對(duì)這三道題的選做情況，他對(duì)一次數(shù)學(xué)模擬考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示：

課程 人數(shù) 班級(jí)	選修4-1	選修4-4	選修4-5
A	10	a	15
B	10	20	b

若從100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，他選做選修4-4的概率為$\frac{9}{20}$．
（Ⅰ）求a、b的值，分別計(jì)算兩個(gè)班沒(méi)有選選修4-5的概率；
（Ⅱ）若從A、B兩班分別隨機(jī)抽取2名學(xué)生，對(duì)其試卷的選做題進(jìn)行分析，記4名學(xué)生中選做4-1的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（視頻率為概率，例如：A班選做4-1的每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率均為$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，他選做選修4-4的概率為$\frac{9}{20}$，由此列出方程級(jí)求出a，從而能求出b，進(jìn)而能求出A班沒(méi)有選做選修4-5的概率和B班沒(méi)有選做選修4-5的概率．
（Ⅱ）由題意知，A、B兩班每人選選修4-1的概率均為$\frac{1}{5}$，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B（4，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵從100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，他選做選修4-4的概率為$\frac{9}{20}$，
∴由題意，得：$\frac{a+20}{100}=\frac{9}{20}$，解得a=25，
∴b=100-（15+25+10+10+20）=20，
A班沒(méi)有選做選修4-5的概率${P_1}=\frac{10+25}{50}=\frac{7}{10}$，
B班沒(méi)有選做選修4-5的概率p₂=$\frac{10+20}{50}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由題意知，A、B兩班每人選選修4-1的概率均為$\frac{1}{5}$，
∴隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即 X～B（4，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{5}）^{i}（1-\frac{1}{5}）^{4-i}$，i=0，1，2，3，4，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

∴$E（X）=4×\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．