Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+b（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）若-2≤a＜0，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，2]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=3，求出a，代入f（x）求出b即可；
（Ⅱ）根據(jù)x=1是極值點(diǎn)求出a，檢驗(yàn)即可；
（Ⅲ）問題可化為$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，設(shè)$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b+\frac{m}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b$，∴${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}$，…（2分）
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，f（1）=0，∴a=-2，$\frac{1}{2}+b=0$，∴a=-2，$b=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=1-a=0，∴a=1；     …（6分）
當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+b$，定義域?yàn)椋?，+∞），${f^'}（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}=\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以，a=1．…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)?2≤a＜0，0＜x≤2，
所以${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}＞0$，故函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤2，則$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤m|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，
可化為$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，…（10分）
設(shè)$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+b+\frac{m}{x}$，則h（x₁）≥h（x₂）．
所以h（x）為（0，2]上的減函數(shù)，即${h^'}（x）=x-\frac{a}{x}-\frac{m}{x^2}≤0$在（0，2]上恒成立，
等價(jià)于x³-ax-m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x³-ax在（0，2]上恒成立，
又-2≤a＜0，所以ax≥-2x，所以x³-ax≤x³+2x，
而函數(shù)y=x³+2x在（0，2]上是增函數(shù)，
所以x³+2x≤12（當(dāng)且僅當(dāng)a=-2，x=2時(shí)等號(hào)成立）．
所以m≥12．即m的最小值為12．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，恒成立問題，及參數(shù)取值范圍等內(nèi)容．