Question

設(shè)a為函數(shù)y=2x+arcsinx-

π

2

的最大值，則二項(xiàng)式（a

x

-

1

x

）⁶的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：由于函數(shù)y=2x+arcsinx-

π

2

在[-1，1]上單調(diào)遞增，即可得到最大值a，再由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，化簡整理，即可得到含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：由于函數(shù)y=2x+arcsinx-

π

2

在[-1，1]上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值為2+

π

2

-

π

2

=2，
即a=2．
則二項(xiàng)式（2

x

-

1

x

）⁶的通項(xiàng)公式：T_r+1=

C

r 6

（2

x

）^6-r（-

1

x

）^r
=

C

r 6

•26-r•(-1)r•x^3-r，
令3-r=2，則r=1．
則含x²項(xiàng)的系數(shù)為：

C

1 6

•25•(-1)1=-192．
故答案為：-192．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：求最值，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，主要是通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．