Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1的頂點、焦點分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點、頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)進行求橢圓的方程；
（2）假設存在符合題意的直線，根據(jù)直線PA、PB的傾斜角互為補角得出斜率之間的關(guān)系，進而求解．

解答： 解：（Ⅰ）在雙曲線x²-

y2

2

=1中，a=1，b=

2

，c=

3

，…（2分）
∴a′=c=

3

，c′=a=1，b′²=2     …（3分）
所以，橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1              …（4分）
（Ⅱ）假設存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角，
依題意可知直線l、PA、PB斜率存在且不為零．
不妨設P（m，0），直線l的方程為y=k（x-1），k≠0…（5分）
由

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0  …（6分）
設A（x₁，y₁）則x1+x2=

6k2

3k2+2

，x1•x2=

3k2-6

3k2+2

…（8分）
∵直線PA、PB的傾斜角互為補角，∴k_PA+k_PB=0對一切k恒成立，…（9分）
即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0對一切k恒成立 …（10分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0對一切k恒成立…（11分）
∴2×

3k2-6

3k2+2

+2m-（m+1）×

6k2

3k2+2

=0對一切k恒成立，…（12分）
即

4m-12

3k2+2

=0，4m-12=0，
∴m=3，…（13分）
∴存在P（3，0）使得直線PA、PB的傾斜角互為補角．…（14分）

點評：本題主要考查雙曲線、橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．