Question

函數(shù)f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，則[f（a₄）]²-a₁a₇=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f（x）=2x-cosx，又{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7a₄，由題意可求得a₄，從而進(jìn)行求解．

解答： 解：∵f（x）=2x-cosx，∵{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇）
=14a₄-[cos（a₄-

3π

8

）+cos（a₄-

2π

8

）+cos（a₄-

π

8

）+cosa₄+cos（a₄+

π

8

）+cos（a₄+

2π

8

）+cos（a₄+

3π

8

）]=7π
即14a₄-[2cosa₄cos

3π

8

+2cosa₄cos

2π

8

+2cosa₄cos

π

8

+cosa₄]=7π．
而 1+cos

π

8

+cos

2π

8

+cos

3π

8

=

cos 3π 8 -cos 4π 8

2(1-cos π 8 )

=

cos 3π 8

2(1-cos π 8 )

．
∴14a₄-cosa₄

cos 3π 8

1-cos π 8

=10π，cosa₄

cos 3π 8

1-cos π 8

，不可能出現(xiàn)含π的無理數(shù)，
所以14a₄=7π，a₄=

π

2

，上式成立．
[f（a₄）]²-a₁a₇=（2×

π

2

-cos

π

2

）²-

π

8

×

7π

8

=π²-

7π

64

=

57π2

64

．
故答案為：

57π2

64

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，繼而求得a₄是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析，推理與計(jì)算能力，屬于難題．