Question

2．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)，該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{6}$；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ．求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為0，40，80元，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
（Ⅱ）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為0，40，80元．…（2分）
都付0元的概率為P₁=$\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，
都付40元的概率為P₂=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
都付80元的概率為P₃=（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{6}-\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{24}$，
故所付費(fèi)用相同的概率為P=P₁+P₂+P₃=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）由題意甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和ξ的可能取值為0，40，80，120，160，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=40）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{3}{12}$，
P（ξ=80）=$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{10}{24}$，
P（ξ=120）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}）$+$\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{12}$，
P（ξ=160）=（1-$\frac{1}{6}-\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	40	80	120	160
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{10}{24}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{24}$

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=$0×\frac{1}{24}+40×\frac{3}{12}+80×\frac{10}{24}$+$120×\frac{3}{12}+160×\frac{1}{24}$=80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．