Question

10．若函數(shù)f（x）=x²+a|x|+2，x∈R在區(qū)間[3，+∞）和[-2，-1]上均為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{11}{3}$，-3]
• B． [-6，-4]
• C． [-3，-2$\sqrt{2}}$]
• D． [-4，-3]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)知，只需考察f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，在[3，+∞）上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，則只需函數(shù)y=x²+ax+2的對稱軸$x=-\frac{a}{2}∈[{2，3}]$，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=x²+a|x|+2，
∵f（-x）=（-x）²+a|-x|+2=x²+a|x|+2=f（x），
∴f（x）為實數(shù)集上的偶函數(shù)，由f（x）=x²+a|x|+2在區(qū)間[3，+∞）和[-2，-1]上均為增函數(shù)，
知f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)y=x²+ax+2（x＞0）的對稱軸$x=-\frac{a}{2}∈[{2，3}]$，得a∈[-6，-4]．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性及其奇偶性的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，是中檔題．