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【題目】已知函數f(x)=ex·(a++lnx),其中aR.

(I)若曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線y=-垂直,求a的值;

(II)當a(0,ln2)時,證明:f(x)存在極小值.

【答案】(1)a=0(2)見解析

【解析】分析:(1)由題意,求得函數的導數,由,即可求得的值;

(2)求得導數,得到同號,令,求得,求得函數在存在,使得,進而得到上點單調性,即可作出證明.

詳解:(I)f(x)的導函數為f'(x)=ex·(a++lnx)+ex·(-

=ex·(a+-+lnx).

依題意,有f'(1)=e·(a+1)=e,

解得a=0.

(II)由f'(x)=ex·(a+-+lnx)及ex>0知,f'(x)與a+-+lnx同號.

g(x)=a+-+lnx,

g'(x)==.

所以對任意x(0,+),有g'(x)>0,故g(x)在(0,+)單調遞增.

因為a(0,ln2),所以g(1)=a+l>0,g()=a+ln<0,

故存在x0,1),使得g(x0)=0.

f(x)與f'(x)在區(qū)間(,1)上的情況如下:

x

,x0

x0

(x0,1)

f'(x)

-

0

+

f(x)

極小值

所以f(x)在區(qū)間(,x0)上單調遞減,在區(qū)間(x0,1)上單調遞增.

所以f(x)存在極小值f(x0).

練習冊系列答案
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參數數據:,

.

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