Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，點E，F(xiàn)，G分別是線段AB，BC，DD₁的中點，求作過E，F(xiàn)，G三點的截面，并求截面的面積．

Answer 1

分析 設(shè)平面EFG與A₁A的交點為M，與C₁C交點為N，則MA=NC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，將截面分解成三個三角形，然后分別求出個三角形的邊長，利用余弦定理求出面積．

解答 解：在A₁A和C₁C上分別取點M，N，使得AM=CN=$\frac{1}{6}$，連接EM，MG，GN，NF，F(xiàn)E．
則五邊形GMEFN為所求截面．
∵正方體棱長為1，MA=$\frac{1}{6}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$，ME=$\sqrt{M{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，DG=$\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，GE=GF=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
MG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠EMG=$\frac{M{E}^{2}+M{G}^{2}-G{E}^{2}}{2ME•MG}$=-$\frac{1}{10}$，
cos∠EGF=$\frac{G{E}^{2}+G{F}^{2}-E{F}^{2}}{2GE•GF}$=$\frac{5}{6}$，
∴sin∠EMG=$\frac{3\sqrt{11}}{10}$，sin∠EGF=$\frac{\sqrt{11}}{6}$．
∴S_△GFN=S_△GME=$\frac{1}{2}•ME•MG•sin∠EMG$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$，
S_△EGF=$\frac{1}{2}•GE•GF•sin∠EGF$=$\frac{\sqrt{11}}{8}$，
∴截面面積為S_△GFN+S_△GME+S_△EGF=$\frac{7\sqrt{11}}{24}$．

點評 本題考查了立體幾何中的幾何計算，正確找到M，N兩點的位置是關(guān)鍵．