Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為3，函數(shù)f（x）的圖象上相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，且f（0）=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，試判斷g（x）的奇偶性，并求出g（x）在R上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）依題意可求A，周期，利用周期公式可求ω，由f（0）=2sinφ+1=2，可得sinφ=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求解析式：g（x）=2cos2x，由g（x）=2cos2x的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g（-x）=g（x）即可判定其是偶函數(shù)，由-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{π}{2}$+kπ≤x≤kπ，k∈Z，即可求得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）依題意得：A+1=3，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴A=2，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）+1，
∵f（0）=2sinφ+1=2，
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
（2）依題意得：g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1-1=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∵g（x）=2cos2x的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g（-x）=g（x）．
∴g（x）是偶函數(shù)．
由-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{π}{2}$+kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{2}$+kπ，kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．