Question

9．已知命題p：函數(shù)f（x）=-x²+4ax+3在區(qū)間（-∞，1]上是單調(diào)增函數(shù)；命題q：函數(shù)g（x）=lg（x²+2ax+a）的定義域?yàn)镽，如果命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出命題p，q成立的等價(jià)條件建立復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=-x²+4ax+3在區(qū)間（-∞，1]上是單調(diào)增函數(shù)，
所以對稱軸方程x=-$\frac{4a}{2×（-1）}$≥1，所以a≥$\frac{1}{2}$，…（3分）
又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=lg（x²+2ax+a）的定義域?yàn)镽，
所以△=（2a）²-4a＜0，解得0＜a＜1，…（6分）
又因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以命題p，q一真一假，…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤0}\\{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，…（12分）
所以a≥1或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1或0＜a＜$\frac{1}{2}$}．                …（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．