Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第2項，第5項，第14項分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項，第3項，第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n（n∈N*），求{c_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的通項公式以及兩個數(shù)列項的關系建立方程即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n（n∈N*），求出{c_n}的通項公式，利用錯位相減法即可求{c_n}的前n項和為S_n．

解答 解：（1）∵第2項，第5項，第14項分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項，第3項，第4項．
∴b₃²=b₂•b₄即${a_5}^2={a_2}•{a_{14}}$，
∴${（{a_1}+4d）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+13d）$
解得：d=2a₁=2，
∴a_n=2n-1∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
則${b_n}={3^{n-1}}$．
（2）${c_n}=（2n-1）•{3^{n-1}}$，
∴${S_n}=1•{3^0}+3•{3^1}+5•{3^2}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}$?，
∴$3{S_n}=1•{3^1}+3•{3^2}+5•{3^3}+…+（2n-1）•{3^n}$?
兩式相減，得-2S_n=1+2•（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ
=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ=-2-（2n-2）3ⁿ，
則S_n=1+（n-1）3ⁿ．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列和的計算，利用錯位相減法是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．