Question

13．已知a＞0且a≠1，f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，其中f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）為R上的偶函數(shù)，若g（2）=a，則f（2）的值為（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{17}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由已知中定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2根，據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，得到關(guān)于f（x），g（x）的另一個(gè)方程f（-x）+g（-x）=a^-x-a^x+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根據(jù)g（2）=a=2求出a值后，即可得到f（2）的值．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2 ①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=a^-x-a^x+2 ②
①②聯(lián)立解得f（x）=a^x-a^-x，g（x）=2
由已知g（2）=a=2
∴a=2，f（x）=2^x-2^-x
∴f（2）=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法--方程組法，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中利用奇偶性的性質(zhì)，求出f（x），g（x）的解析式，再根據(jù)g（2）=a=2求出a值，是解答本題的關(guān)鍵．