Question

11．某市一高中經(jīng)過層層上報(bào)，被國(guó)家教育部認(rèn)定為2015年全國(guó)青少年足球特色學(xué)校．該校成立了特色足球隊(duì)，隊(duì)員來自高中三個(gè)年級(jí)，人數(shù)為50人．視力對(duì)踢足球有一定的影響，因而對(duì)這50人的視力作一調(diào)查．測(cè)量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現(xiàn)他們的視力全部介于4.75和5.35之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[4.75，4.85），第二組[4.85，4.95），…，第6組[5.25，5.35]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布N（5.01，0.0064）．
（1）試評(píng)估該校特色足球隊(duì)人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況；
（2）求這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）在這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出該校特色足球隊(duì)人員平均視力，由此能評(píng)估該校特色足球隊(duì)人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況．
（2）由頻率分布直方圖求出后兩組隊(duì)員的視力在5.15以上（含5.15），其頻率為及人數(shù)．
（3）由題意隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，
該校特色足球隊(duì)人員平均視力為4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03
高于全省喜愛足球的高中生的平均值5.01…4分
（2）由頻率分布直方圖知，后兩組隊(duì)員的視力在5.15以上（含5.15），其頻率為0.2，人數(shù)為0.2 50=10，
即這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)為10人…6分
（3）∵P（5.01-3×0.08＜ξ≤5.01-3×0.08，即P（4.77＜ξ≤5.25）=0.9974，
∴P（ξ≥5.25）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.013，0.0013×100000=130，…8分
∴全省喜愛足球的高中生中前130名的視力在5.25以上．這50人中視力在5.25以上的有0.1 50=5人，
這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人分為兩部分：5人在5.25以上，5人在5.15∽5.25…9分
隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{25}{45}$=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$．
∴Eξ=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1…12（分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．