Question

11．某市一高中經(jīng)過層層上報，被國家教育部認定為2015年全國青少年足球特色學(xué)校．該校成立了特色足球隊，隊員來自高中三個年級，人數(shù)為50人．視力對踢足球有一定的影響，因而對這50人的視力作一調(diào)查．測量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現(xiàn)他們的視力全部介于4.75和5.35之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[4.75，4.85），第二組[4.85，4.95），…，第6組[5.25，5.35]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布N（5.01，0.0064）．
（1）試評估該校特色足球隊人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況；
（2）求這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）在這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出該校特色足球隊人員平均視力，由此能評估該校特色足球隊人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況．
（2）由頻率分布直方圖求出后兩組隊員的視力在5.15以上（含5.15），其頻率為及人數(shù)．
（3）由題意隨機變量ξ可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，
該校特色足球隊人員平均視力為4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03
高于全省喜愛足球的高中生的平均值5.01…4分
（2）由頻率分布直方圖知，后兩組隊員的視力在5.15以上（含5.15），其頻率為0.2，人數(shù)為0.2 50=10，
即這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)為10人…6分
（3）∵P（5.01-3×0.08＜ξ≤5.01-3×0.08，即P（4.77＜ξ≤5.25）=0.9974，
∴P（ξ≥5.25）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.013，0.0013×100000=130，…8分
∴全省喜愛足球的高中生中前130名的視力在5.25以上．這50人中視力在5.25以上的有0.1 50=5人，
這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人分為兩部分：5人在5.25以上，5人在5.15∽5.25…9分
隨機變量ξ可取0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{25}{45}$=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$．
∴Eξ=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1…12（分）．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．