Question

16．函數(shù)f（x）=x³-3x-1，若對于區(qū)間[-3，4]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，則實數(shù)t的最小值是70．

Answer 1

分析 對于區(qū)間[-3，4]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等價于對于區(qū)間[-3，4]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，求最值，即可得出結論．

解答 解：對于區(qū)間[-3，4]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等價于對于區(qū)間[-3，4]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，
∵f（x）=x³-3x-1，∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∵x∈[-3，4]，
∴函數(shù)在[-3，-1]、[1，4]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減；
∴f（x）_max=f（4）=51，f（x）_min=f（-3）=-19；
∴f（x）_max-f（x）_min=70，
∴t≥70；
∴實數(shù)t的最小值是70．
故答案為：70．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，正確求導，確定函數(shù)的最值是關鍵．