Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，射線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）已知M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，求P點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）記P點(diǎn)的軌跡為C₂，設(shè)射線l與曲線C₁與C₂分別交于點(diǎn)A，B（異于A，B極點(diǎn)），求|AB|．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（ρ，θ），則M（$\frac{ρ}{2}$，θ），將M點(diǎn)極坐標(biāo)代入曲線C₁極坐標(biāo)方程得出P的軌跡方程．
（II）由軌跡方程的定義可知|AB|=|OA|，故只需求出l被曲線C₁所截線段長(zhǎng)|OA|即可．使用參數(shù)幾何意義求出|OA|．

解答 解：（I）設(shè)P點(diǎn)極坐標(biāo)為（ρ，θ），∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（$\frac{ρ}{2}$，θ）．
∵M(jìn)是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，∴$\frac{ρ}{2}$=4sinθ，即ρ=8sinθ．
∴P點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程是ρ=8sinθ．
（II）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）代入x²+（y-2）²=4得t²-$\sqrt{3}t$=0，
解得t₁=0，t₂=$\sqrt{3}$，∴|OA|=$\sqrt{3}$，
由（I）可知|OB|=2|OA|=2$\sqrt{3}$．
∴|AB|=|OA|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．