Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率是e，定義直線y=$±\frac{e}$為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為y=$±2\sqrt{3}$，長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點P作圓O：x²+y²=3的切線l，過點O且垂直于OP的直線l交于點A，問點A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得a²=4，b²=3，c²=1，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（x₀，2$\sqrt{3}$）（x₀≠0），當(dāng)x₀=$\sqrt{3}$時和x₀=-$\sqrt{3}$時，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程驗證知，A在橢圓上，當(dāng)x₀≠±$\sqrt{3}$時，求出過點O且垂直于0P的直線與橢圓的交點，寫出該交點與P點的連線所在直線方程，由原點到直線的距離等于圓的半徑說明直線是圓的切線，從而說明點A在橢圓C上．

解答 解：（1）由題意得：$\frac{e}$=$\frac{ab}{c}$=2$\sqrt{3}$，2a=4，
又a²=b²+c²，聯(lián)立以上可得：
a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y²=1；
（2）如圖，由（1）可知，
橢圓的類準(zhǔn)線方程為y=±2$\sqrt{3}$，
不妨取y=2$\sqrt{3}$，
設(shè)P（x₀，2$\sqrt{3}$）（x₀≠0），
則k_OP=$\frac{2\sqrt{3}}{{x}_{0}}$，
∴過原點且與OP垂直的直線方程為y=-$\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}$x，
當(dāng)x₀=$\sqrt{3}$時，過P點的圓的切線方程為x=$\sqrt{3}$，
過原點且與OP垂直的直線方程為y=-$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：A（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
代入橢圓方程成立；
同理可得，當(dāng)x₀=-$\sqrt{3}$時，點A在橢圓上；
當(dāng)x₀≠±$\sqrt{3}$時，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}x}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
解得A₁（$\frac{6}{\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}}$，-$\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}}$），A₂（-$\frac{6}{\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}}$），
PA₁所在直線方程為（2$\sqrt{3}$$\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}$+$\sqrt{3}$x₀）x-（x₀$\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}$-6）y-$\sqrt{3}$x₀²-12$\sqrt{3}$=0．
此時原點O到該直線的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}{{x}_{0}}^{2}-12\sqrt{3}|}{\sqrt{（2\sqrt{3}\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}+\sqrt{3}{x}_{0}）^{2}+（{x}_{0}\sqrt{9+{{x}_{0}}^{2}}-6）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
∴說明A點在橢圓C上；
同理說明另一種情況的A也在橢圓C上．
綜上可得，點A在橢圓C上．

點評 本題是新定義題，考查了橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬難題．