Question

20．在邊長為1的正方形ABCD中，$2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$，BC的中點為F，$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{FG}$，則$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BD}$=$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，然后建系利用坐標求解．

解答 解：建立如圖所示直角坐標系，

則B（1，0），D（0，1），E（$\frac{1}{3}$，0），F(xiàn)（1，$\frac{1}{2}$），
設G（a，b），由$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{FG}$，得（$\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$）=2（a-1，b-$\frac{1}{2}$），
解得G（$\frac{4}{3}，\frac{3}{4}$）．
∴$\overrightarrow{EG}=（1，\frac{3}{4}）$，$\overrightarrow{BD}=（-1，1）$．
則$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BD}$=-1$+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$．
故答案為：$-\frac{1}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)形結合的解題思想方法，合理建系是關鍵，是中檔題．