Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x），x∈[2，8]，求值域．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)形式，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）=$\frac{1}{2}$（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）
=$\frac{1}{2}$（1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（2+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x），
令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，x∈[2，8]，
則t∈[-3，-1]，
則函數(shù)等價(jià)為y=$\frac{1}{2}$（1+t）•（2+t）=$\frac{1}{2}$（t²+3t+2）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∵t∈[-3，-1]，
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，y最小為$\frac{1}{8}$，
當(dāng)t=-3時(shí)，y取得最大值y=1，
故函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}{8}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域的求解，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．