Question

16．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F并且經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為45°的直線l，交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，-2）代入拋物線C：y²=2px（p＞0），解得p即可得出．
（2）F（1，0）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=x-1．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得：|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：原點(diǎn)O到直線MN的距離d．利用△OMN的面積S=$\frac{1}{2}|MN|•d$即可得出．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，-2）代入拋物線C：y²=2px（p＞0），可得（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴拋物線C的方程為：y²=4x．
（2）F（1，0）．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線l的方程為：y=x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化為x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（{6}^{2}-4）}$=8．
原點(diǎn)O到直線MN的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴△OMN的面積S=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×8×\frac{1}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．