Question

8．如圖，某工業(yè)園區(qū)有一邊長為2（單位：千米）的正方形地塊OABC，其中OCE（陰影部分）是一個已建工廠，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與曲邊OE相切的直路l（寬度不計），切點為P，直線l把該地塊分為兩部分，已知曲線段OE是以點O為頂點，OC為對稱軸且開口向上的拋物線的一段，CE=$\sqrt{2}$．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線段OE的方程；
（2）在（1）的條件下設(shè)點P到邊OC的距離為t．
（i）當t=1時，求直路l所在的直線方程；
（ii）若$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，試問當t為何值時，地塊OABC在直路l不含已建工廠那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）以O(shè)A所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)曲線OE的方程為y=ax²，求得E的坐標，代入拋物線方程，即可解得a=1，進而得到所求方程；
（2）（i）求出y=x²的導數(shù)，求得切線的斜率，令t=1，得到切線方程；
（ii）由（i）知切線方程為y-t²=2t（x-t），分別令y=0，y=2，求得x（t），運用導數(shù)，判斷單調(diào)性，求得x（t）的范圍，求得面積S的解析式，運用導數(shù)即可求得最大值．

解答 解：（1）以O(shè)A所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，
建立直角坐標系，
設(shè)曲線OE的方程為y=ax²，
由E（$\sqrt{2}$，2）在拋物線上，可得a=1，
則有OE：y=x²（0≤x≤$\sqrt{2}$）；
（2）（i）y=x²的導數(shù)為y′=2x，
當t=1時，k=2，由直線過P（1，1），
則有直線方程為y-1=2（x-1），即為2x-y-1=0；
（ii）由（i）知切線方程為y-t²=2t（x-t），令y=0可得x=$\frac{t}{2}$，
令y=2可得x=$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$，由$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，x′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{t}^{2}-2}{2{t}^{2}}$＜0，
x（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$遞減，x（t）∈[$\frac{17}{12}$，$\frac{43}{30}$]⊆[$\sqrt{2}$，2]，
面積S=4-$\frac{1}{2}$（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$）×2=4-（t+$\frac{1}{t}$），
令g（t）=t+$\frac{1}{t}$，g′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
由$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，可得g′（t）＞0，
g（t）在定義域內(nèi)遞增，即有g(shù)（t）_min=g（$\frac{6}{5}$）=$\frac{61}{30}$，
S_max=4-$\frac{61}{30}$=$\frac{59}{30}$．
故當t=$\frac{6}{5}$時，地塊OABC在直路l不含已建工廠那側(cè)的面積取到最大，
最大值是$\frac{59}{30}$．

點評 本題考查拋物線的方程的運用，考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，
屬于中檔題．