Question

10．如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P點(diǎn)是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．試用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面．

Answer 1

分析 畫出圖形，利用三角形的重心定義，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，得出$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$，
即證E、F、G、H四點(diǎn)共面．

解答 證明：分別延長PE、PF、PG、PH，交對邊于M、N、Q、R點(diǎn)，
因?yàn)镋、F、G、H分別是所在三角形的重心，
所以M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn)，
順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形，
且有$\overrightarrow{PE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{PG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PH}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PR}$；如圖所示，

∴$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{MN}$+$\overrightarrow{MR}$=（$\overrightarrow{PN}$-$\overrightarrow{PM}$）+（$\overrightarrow{PR}$-$\overrightarrow{PM}$）
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PE}$）+$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PH}$-$\overrightarrow{PE}$）
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$）；
又∵$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{PQ}$-$\overrightarrow{PM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{PG}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{PE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$，
∴$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$），
∴$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$
由共面向量定理知：E、F、G、H四點(diǎn)共面．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算與應(yīng)用問題，也考查了空間想象與邏輯推理能力，是中檔題目．