Question

20．已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸和y軸正軸于A，B兩點，O為原點，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．求證：
（1）（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）將圓C的方程化為標準式求出圓心坐標、半徑，由截距式求出直線AB方程，利用切線的條件和點到直線的距離公式建立方程，化簡可得結(jié)論；
（2）由（a-2）（b-2）=2和基本不等式列出不等式，求出$\sqrt{ab}$的范圍，結(jié)合三角形的面積公式，可求△AOB面積的最小值．

解答 （1）證明：由題意知，圓C的標準方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
則圓心C的坐標是（1，1），半徑r=2，
由條件得直線AB方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，
所以圓心C到該直線的距離d=$\frac{|a+b-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
則a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=a²+b²，
a²b²+2ab-2a²b-2ab²=0，即ab+2-2a-2b=0，
即（a-2）（b-2）=2；
（2）解：由（a-2）（b-2）=2得ab+2=2（a+b）≥4$\sqrt{ab}$，
解得$\sqrt{ab}$≥2+$\sqrt{2}$（舍去$\sqrt{ab}$≤2-$\sqrt{2}$），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，ab取最小值6+4$\sqrt{2}$，
所以△AOB面積S=$\frac{1}{2}ab$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，以及基本不等式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．