Question

20．若$\frac{4-3mi}{3+mi}$（m∈R）為純虛數(shù)，則（$\frac{2+mi}{2-mi}$）⁴的值為1．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)$\frac{4-3mi}{3+mi}$，由其為純虛數(shù)求得m的值，代入（$\frac{2+mi}{2-mi}$）⁴得答案．

解答 解：∵$\frac{4-3mi}{3+mi}$=$\frac{（4-3mi）（3-mi）}{（3+mi）（3-mi）}=\frac{（12-3{m}^{2}）-13mi}{9+{m}^{2}}$為純虛數(shù)，
∴12-3m²=0，即m=±2，
當(dāng)m=2時(shí)，$\frac{2+mi}{2-mi}=\frac{2+2i}{2-2i}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=i，
當(dāng)m=-2時(shí)，$\frac{2+mi}{2-mi}=\frac{2-2i}{2+2i}=\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=-i$，
∴（$\frac{2+mi}{2-mi}$）⁴=（±i）⁴=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．