Question

8．如圖所示，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別在BB₁和DD₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，DF=$\frac{2}{3}$DD₁．
（1）證明：A、E、C₁、F四點共面．
（2）若$\overrightarrow{EF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求x+y+z．

Answer 1

分析 （1）由AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F，知△ABE≌△C₁D₁F，進而AE=C₁F，同理AF=C₁E，故AEC₁F為平行四邊形，由此能夠證明A、E、C₁、F四點共面．
（2）結合圖形和向量的加法和減法運算進行求解．

解答 證明：∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BE=$\frac{1}{3}$BB₁，DF=$\frac{2}{3}$DD₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE=C₁F，
同理AF=C₁E，
故AEC₁F為平行四邊形，
∴A、E、C₁、F四點共面．…（6分）
（2）解：如圖所示：$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{{EB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=$\overrightarrow{{EB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{DD}_{1}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
即x=-1，y=1，z=$\frac{1}{3}$，
∴x+y+z=$\frac{1}{3}$

點評 本題考查四點共面的證明，平面向量基本定理及其應用，解題時要認真審題，注意合理地化空間幾何為平面幾何進行求解，解題時要注意向量法的合理運用．