Question

13．點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一點，F(xiàn)是右焦點，且△OPF是∠POF=120°的等腰三角形（O為坐標原點），則雙曲線的離心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由題意可得P在雙曲線的左支上，可設P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（-ccos60°，csin60°），代入雙曲線方程，由離心率公式，解方程即可得到結論．

解答 解：由題意可得P在雙曲線的左支上，
可設P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，
即有P（-ccos60°，csin60°），
即為（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入雙曲線方程，可得
$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
即為$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3{e}^{2}}{4（{e}^{2}-1）}$=1，
化簡可得e⁴-8e²+4=0，
解得e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，可得e=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要方程的運用和離心率的求法，正確判斷P的位置和求出P的坐標是解題的關鍵．