Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是由不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y-4≥0\end{array}\right.$所確定的平面區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，M，N是圓x²+y²=1的一條直徑的兩端點(diǎn)，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 7

Answer 1

分析 設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵M(jìn)，N是圓x²+y²=1的一條直徑的兩端點(diǎn)，
∴設(shè)M（a，b），N（-a，-b），則滿足a²+b²=1，
設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（a-x，b-y）•（-a-x，-b-y）=-（a-x）（a+x）-（b-y）（b+y）
=-a²+x²-b²+y²=x²+y²-（a²+b²）=x²+y²-1，
設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則原點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離最小，
此時d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則z=d²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x²+y²-1=8-1=7，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查向量數(shù)量積以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用坐標(biāo)系結(jié)合斜率數(shù)量積的公式轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．