Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，|PF|=$\frac{3}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）若斜率為1的直線l過點(diǎn)F與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)離心率及P在橢圓上列方程組解出a，b；
（2）求出直線l的方程，聯(lián)立方程組得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，代入弦長公式計(jì)算．

解答 解：（1）由題意可知P（c，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）F（1，0），∴直線l的方程為y=x-1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，消元得：7x²-8x-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{32}{7}}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題．