Question

5．在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC、CD上的點，且滿足$\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{DN}|}{|\overrightarrow{DC}|}$=λ．
（1）當λ=$\frac{1}{2}$時，求向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$夾角的余弦值；
（2）求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）法1：根據(jù)向量數(shù)量積的公式直接進行求解即．法2：建立坐標系，求出向量坐標，利用向量數(shù)量積的坐標公式進行求解．
（2）法1：利用三點關(guān)系，建立數(shù)乘向量關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義進行求解．法2：利用坐標系，求出向量坐標，利用向量數(shù)量積的坐標公式進行求解．

解答 解法一：（Ⅰ）當$\frac{{|{\overrightarrow{BM}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DN}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}=λ=\frac{1}{2}$時$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$…（2分）
$|{\overrightarrow{AM}}|=|{\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}}|=\sqrt{{{|{\overrightarrow{AB}}|}^2}+|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{AD}}|+\frac{1}{4}{{|{\overrightarrow{AD}}|}^2}}=\sqrt{{2^2}+0+\frac{1}{4}×{1^2}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$…（3分）
$|{\overrightarrow{AN}}|=|{\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{{{|{\overrightarrow{AD}}|}^2}+|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{AD}}|+\frac{1}{4}{{|{\overrightarrow{AB}}|}^2}}=\sqrt{{1^2}+0+\frac{1}{4}×{2^2}}=2$…（4分）
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（\overrightarrow{AB}+$BC，CD$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{AB}}|^2}+\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{AD}}|^2}=\frac{5}{2}$…（5分）
設(shè)向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$夾角為θ
則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}}}{{|{\overrightarrow{AM}}|•|{\overrightarrow{AN}}|}}=\frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{{\sqrt{17}}}{2}×2}}=\frac{{5\sqrt{17}}}{34}$…（6分）
（Ⅱ）當$\frac{{|{\overrightarrow{BM}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DN}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}=λ$時，因為M，N分別是邊上，所以0≤λ≤1…（7分）．
$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BC}=λ\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=λ\overrightarrow{AB}$，…（8分）
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$…（9分）
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}）=λ（{|{\overrightarrow{AB}}|^2}+{|{\overrightarrow{AD}}|^2}）=5λ$…（11分）
因為0≤λ≤1
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是[0，5]．…（12分）
解法二：以A為原點，分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標系xAy，如圖所示：
則A（0，0），B（2，0），D（0，1）…（1分）
（Ⅰ）$\frac{{|{\overrightarrow{BM}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DN}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}=λ=\frac{1}{2}$時，$M（2，\frac{1}{2}），N（1，1）$…（2分），
$|{\overrightarrow{AM}}|=\sqrt{{2^2}+\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，$|{\overrightarrow{AN}}|=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=2$…（4分），
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（2，\frac{1}{2}）•（1，1）=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$…（5分）
設(shè)向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$夾角為θ，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}}}{{|{\overrightarrow{AM}}|•|{\overrightarrow{AN}}|}}=\frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{{\sqrt{17}}}{2}×2}}=\frac{{5\sqrt{17}}}{34}$…（6分）
（Ⅱ）當$\frac{{|{\overrightarrow{BM}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DN}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}=λ$時，因為 M，N分別是邊BC，CD上．所以0≤λ≤1…（7分）
$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BC}=（0，λ）$   $\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=（2λ.0）$…（9分），
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=（2，λ）$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=（2λ，1）$…（10分）
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（2，λ）•（2λ，1）=5λ$…（11分）
因為0≤λ≤1，所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是[0，5]．…（12分）

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及坐標公式，利用定義法以及坐標法是解決本題的關(guān)鍵．