Question

12．如圖，已知OPQ是半徑為$\sqrt{7}$圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，C是該扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠BOC為α．
（Ⅰ）若Rt△CBO的周長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，求$\frac{3-cos2α}{co{s}^{2}α-sinαcosα}$的值．
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$的最大值，并求此時(shí)α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出三角形的周長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行求解．
（Ⅱ）結(jié)合向量的數(shù)量積公式，結(jié)合三角函數(shù)的帶動(dòng)下進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）BC=OCsinα=$\sqrt{7}$sinα，OB=OCcosα=$\sqrt{7}$cosα，
則若Rt△CBO的周長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，
則$\sqrt{7}$+$\sqrt{7}$sinα+$\sqrt{7}$cosα=$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，
sinα+cosα=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
平方得2sinαcosα=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{2sinαcosα}{sin^2α+cos^2α}$=$\frac{2tanα}{1+tan^2α}$=$\frac{3}{5}$，
解得tanα=3（舍）或tanα=$\frac{1}{3}$．
則$\frac{3-cos2α}{co{s}^{2}α-sinαcosα}$=$\frac{2（cos^2α+2sin^2α）}{cos^2α-sinαcosα}$=$\frac{2（1+2tan^2α）}{1-tanα}$=$\frac{2（1+2×\frac{1}{9}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{11}{3}$．
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=OCsinα=$\sqrt{7}$sinα，OB=OCcosα=$\sqrt{7}$cosα，
在Rt△ODA中，
OA=DAtan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sinα，
∴AB=OB-OA=$\sqrt{7}$（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{OA}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{7}$（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα）•$\frac{\sqrt{21}}{3}$sinα$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα}）•sinα\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{{sin}^2}α}）\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}[{\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{1-cos2α}）}]\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）\end{array}$
=$\frac{{7\sqrt{3}}}{3}[{\frac{1}{{\sqrt{3}}}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α}）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]=\frac{7}{3}sin（{2α+\frac{π}{6}}）-\frac{7}{6}（{0＜α＜\frac{π}{3}}）$
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
即$α=\frac{π}{6}$時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$有最大值$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，考察學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．