Question

11．（1）以極坐標系Ox為極點O為原點，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，把極坐標方程cosθ+ρ²sinθ=1化成直角坐標方程．
（2）在直角坐標系xOy中，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），過點P（2，1）的直線與曲線C交于A，B兩點．若|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）極坐標方程cosθ+ρ²sinθ=1，化為ρcosθ+ρ²•ρsinθ=ρ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．過點P（2，1）的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．代入橢圓方程可得：（1+sin²α）t²+4t（cosα+sinα）+4=0．可得t₁t₂，t₁+t₂．利用|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$=|t₁t₂|，解得sin²α，即可得出|AB|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）極坐標方程cosθ+ρ²sinθ=1，化為ρcosθ+ρ²•ρsinθ=ρ，化為x+（x²+y²）y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即為直角坐標方程．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
過點P（2，1）的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．
代入橢圓方程可得：（1+sin²α）t²+4t（cosα+sinα）+4=0．
∴t₁t₂=$\frac{4}{1+si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=$\frac{-4（cosα+sinα）}{1+si{n}^{2}α}$．
∵|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{4}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3}$，解得sin²α=$\frac{1}{2}$，解得$sinα=cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
|AB|=|t₁+t₂|=$\frac{4|cosα+sinα|}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．