Question

1．直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)是極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，自極點(diǎn)O作直線與曲線pcosθ=4相交于點(diǎn)Q，在OQ上有一動點(diǎn)P滿足|OP|•|OQ|=12，若點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂，方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）表示的曲線為C₁，
（1）求C₁的極坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁與C₂交于點(diǎn)A、B，求A、B兩點(diǎn)的距離|AB|．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C₁的普通方程，再求C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）將直線方程ρcosθ=4化為x=4，設(shè)P（x，y），求出點(diǎn)P的軌跡，由此利用弦長公式能求出|AB|．

解答 解：（1）∵方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）表示的曲線為C₁，
∴曲線C₁的普通方程為$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}$=0，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcosθ$-ρsinθ-$\sqrt{2}$=0．
（2）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將直線方程ρcosθ=4化為x=4，
設(shè)P（x，y），Q（4，y₀），
∵|OP|•|OQ|=12，∴（x，y）•（4，y₀）=12，4x+yy₀=12，
又MPO三點(diǎn)共線，xy₀=4y，x²+y²-3x=0，
把y=$\sqrt{2}x-\sqrt{2}$代入x²+y²-3x=0，得：3x²-7x+2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{7}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+2）（\frac{49}{9}-\frac{8}{3}）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程和弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運(yùn)用．