Question

1．某電視臺(tái)擬舉行由選手報(bào)名參加的比賽類型的娛樂節(jié)目，選手進(jìn)入正賽前需通過海選，參加海選的選手可以參加A、B、C三個(gè)測試項(xiàng)目，只需通過一項(xiàng)測試即可停止測試，通過海選．若通過海選的人數(shù)超過預(yù)定正賽參賽人數(shù)，則優(yōu)先考慮參加海選測試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽．當(dāng)某選手三項(xiàng)測試均未通過，則被淘汰．現(xiàn)已知甲選手通過項(xiàng)目A、B、C測試的概率為分別為$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，且通過各次測試的事件相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若甲選手先測試A項(xiàng)目，再測試B項(xiàng)目，后測試C項(xiàng)目，求他通過海選的概率；若改變測試順序，對(duì)他通過海選的概率是否有影響？說明理由．
（Ⅱ）若甲選手按某種順序參加海選測試，第一項(xiàng)能通過的概率為p₁，第二項(xiàng)能通過的概率為p₂，第三項(xiàng)能通過的概率為p₃，設(shè)他結(jié)束測試時(shí)已參加測試的次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望（用p₁、p₂、p₃表示）；并說明甲選手按怎樣的測試順序更有利于他進(jìn)入正賽．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，先求出甲選手不能通過海選的概率，從而得到甲選手能通過海選的概率，無論按什么順序，其能通過海選的概率均為$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）依題意ξ的所有可能取值為1、2、3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望（用p₁、p₂、p₃表示），并能求出甲選手按怎樣的測試順序更有利于他進(jìn)入正賽．

解答 解：（Ⅰ）依題意，甲選手不能通過海選的概率為（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$），
故甲選手能通過海選的概率為1-（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{5}$．…..（3分）
若改變測試順序?qū)λ�通過海選的概率沒有影響，
因?yàn)闊o論按什么順序，其不能通過的概率均為（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{2}{5}$，
即無論按什么順序，其能通過海選的概率均為$\frac{3}{5}$．…..（5分）
（Ⅱ）依題意ξ的所有可能取值為1、2、3．
p（ξ=1）=p₁，
p（ξ=2）=（1-p₁） p₂，
p（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）．
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1） p2	（1-p1）（1-p2）

…．（8分）
Eξ=p₁+2（1-p₁） p₂+3（1-p₁）（1-p₂）…（10分）
分別計(jì)算當(dāng)甲選手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B，
得甲選手按C→B→A參加測試時(shí)，Eξ最小，
∵參加測試的次數(shù)少的選手優(yōu)先進(jìn)入正賽，故該選手選擇將自己的優(yōu)勢項(xiàng)目放在前面，
即按C→B→A參加測試更有利于進(jìn)入正賽．…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．