Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-3x，x≤0}\\{{e}^{x}+{e}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$，若不等式f（x）≥kx，對x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是-3≤k≤e²．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達式，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：當x=0時，不等式f（x）≥kx等價為0≥0成立，
當x＜0時，由f（x）≥kx得2x²-3x≥kx，即2x-3≤k，
當x＜0，2x-3＜-3，則k≥-3；
當x＞0時，由f（x）≥kx得e^x+e²≥kx，$\frac{{e}^{x}+{e}^{2}}{x}$≥k，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{2}}{x}$，當x＞0時，h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-{e}^{2}}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=xe^x-e^x-e²，則g′（x）=xe^x，
當x＞0時，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
∵g（2）=2e²-e²-e²=0，
∴當x＞2時，g（x）＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
當0＜x＜2時，g（x）＜0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
即當x=2時，函數(shù)h（x）取得極小值，同時也是最小值h（2）=$\frac{{e}^{2}+{e}^{2}}{2}$=e²，
此時k≤e²，
綜上-3≤k≤e²，
故答案為：-3≤k≤e²．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．