Question

4．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-$\frac{1}{8}$．
（1）求sinC；
（2）當(dāng)a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，且b=3$\sqrt{7}$時(shí)，求a．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隱含條件sinC＞0；
（2）由sinC=$\frac{3}{4}$，可求cosC，由a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，又正弦定理可得sinA，cosA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB，由正弦定理可得a的值．

解答 解：（1）由已知可得1-2sin2C=-$\frac{1}{8}$．所以sin2C=$\frac{9}{16}$．
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinC＞0，
所以sinC=$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）∵在銳角△ABC中，sinC=$\frac{3}{4}$，∴可得cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，可得：$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，又由正弦定理可得：$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$，
∴可得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$sinC=$\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，解得：cosA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{7}}{4}+$$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{7}×\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$=3．

點(diǎn)評(píng) 此類問(wèn)題是高考的�？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能．