Question

4．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-$\frac{1}{8}$．
（1）求sinC；
（2）當a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，且b=3$\sqrt{7}$時，求a．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隱含條件sinC＞0；
（2）由sinC=$\frac{3}{4}$，可求cosC，由a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，又正弦定理可得sinA，cosA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB，由正弦定理可得a的值．

解答 解：（1）由已知可得1-2sin2C=-$\frac{1}{8}$．所以sin2C=$\frac{9}{16}$．
因為在△ABC中，sinC＞0，
所以sinC=$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）∵在銳角△ABC中，sinC=$\frac{3}{4}$，∴可得cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，可得：$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，又由正弦定理可得：$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$，
∴可得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$sinC=$\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，解得：cosA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{7}}{4}+$$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{7}×\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$=3．

點評 此類問題是高考的�？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變形的技能．