Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，求圓C的方程；
（2）若點M滿足MA=2MO，求點M的軌跡方程；
（3）若圓C上存在點N，使NA=2NO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標，即可得到圓的方程；
（2）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點M的軌跡方程；
（3）點N的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由N在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）聯(lián)立直線l：y=2x-4與直線y=x-1得圓心C（3，2），
∴圓C的方程是（x-3）²+（y-2）²=1．
（2）設點M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得：x²+（y+1）²=4；
（3）點N的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點N在圓C上，C（a，2a-4），
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

點評 此題考查了圓的方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．