Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線(xiàn)l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線(xiàn)y=x-1上，求圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M滿(mǎn)足MA=2MO，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若圓C上存在點(diǎn)N，使NA=2NO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線(xiàn)l與直線(xiàn)y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，即可得到圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）點(diǎn)N的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由N在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）聯(lián)立直線(xiàn)l：y=2x-4與直線(xiàn)y=x-1得圓心C（3，2），
∴圓C的方程是（x-3）²+（y-2）²=1．
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得：x²+（y+1）²=4；
（3）點(diǎn)N的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)N在圓C上，C（a，2a-4），
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識(shí)有：兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．