Question

7．設(shè)正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱長度為2，求這個棱臺的高和斜高．

Answer 1

分析 正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中，作出上、下底的中心O、O′，連結(jié)OO′，過O作OE⊥AD，交AD于E，過O′作O′F⊥A′D′，交A′D′于F，過E作EK⊥O′F，交O′F于K，高h=OO'=EK，斜高 h'=EF=DH，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱長度為2，
∴如圖：正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中，
作出上、下底的中心O、O′，連結(jié)OO′，
過O作OE⊥AD，交AD于E，過O′作O′F⊥A′D′，交A′D′于F，
過E作EK⊥O′F，交O′F于K，
則高h=OO'=EK，
斜高 h'=EF=DH，HD′=$\frac{4-2}{2}$=1=KF，
斜高 h'=EF=DH=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
高h=OO'=EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
∴這個棱臺的高為$\sqrt{2}$，斜高為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正四棱臺的高和斜高的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征的合理運用．