Question

19．定義函數(shù)φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1\\;x≥0}\\{-1\\;x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x（x²-a）•φ（x²-a）．
（1）解關(guān)于a的不等式f（1）≤f（0）；
（2）在0＜a≤1的條件下，若f（x）≥f（1）在x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）分情況當a＞1時和當a≤1時兩種情形進行討論求解；
（2）分情況進行分類討論，0＜a≤1時，討論當$\sqrt{a}$≤x≤1時，當0≤x＜$\sqrt{a}$，若$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{4}$時，若$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{4}$時，運用參數(shù)分離，即可得到a的范圍，進而得到a的最大值．

解答 解：（1）由f（1）≤f（0），得1-2（1-a）φ（1-a）≤0，
當a＞1時，φ（1-a）=-1，所以1+2（1-a）≤0，
∴a≥$\frac{3}{2}$；
當a≤1時，φ（1-a）=1，所以1-2（1-a）≤0，
a≤$\frac{1}{2}$，
綜上，不等式的解集為：{a|a≤$\frac{1}{2}$或a≥$\frac{3}{2}$}．
（2）當x=1時，f（x）=f（1），
根據(jù)題意，對于任意的x∈[0，1），f（x）≥f（1）恒成立，
當0＜a≤1時，由f（x）≥f（1），得
x²-2x（x²-a）Φ（x²-a）≥2a-1．
當$\sqrt{a}$≤x≤1時，x²-2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x-1）≥2x³-x²-1，①
∵x∈[0，1），①成立，等價于2a≤$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x-1}$，
∴2a≤2x²+x+1，
∴2a≤2a+$\sqrt{a}$+1，
當0≤x＜$\sqrt{a}$，x²+2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x+1）≤2x³+x²+1，②
∵x∈[0，1），
②成立，得
2a≤$\frac{2{x}^{3}+{x}^{2}+1}{x+1}$，
∴2a≤2x²-x+1．
若$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{4}$時，0＜a≤$\frac{1}{16}$，2a≤2（$\sqrt{a}$）²-$\sqrt{a}$+1，
所以a≤1，結(jié)合條件，得
0＜a≤$\frac{1}{16}$；
若$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{4}$時，$\frac{1}{16}$＜a≤1，2a≤1-$\frac{1}{8}$，
所以a≤$\frac{7}{16}$，結(jié)合條件，
得$\frac{1}{16}$＜a≤$\frac{7}{16}$；
綜上，0＜a≤$\frac{7}{16}$．
可得a的最大值為$\frac{7}{16}$．

點評 本題重點考查了分段函數(shù)、恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想等知識，屬于比較難的題．