Question

10．設(shè)有數(shù)列a₁，a₂，…a_n，…又若a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）求a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a₁+a₂+…+a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$），利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知a₁+a₂+…+a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）
=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．