Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且對任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，求a的取值范圍．
（2）若f（x）的最大值為1，最小值為-4，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）可得-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），由題意可得-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，即-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，運(yùn)用單調(diào)性求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍；
（2）化簡f（x）可得=-sin²x-2asinx+$\frac{1}{2}$+b，令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=-t²-2at+$\frac{1}{2}$+b，對稱軸為t=-a＜0，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性求得最值，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+1=-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，
令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），對任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，
即為-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，即-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，
由t-$\frac{3}{2t}$在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，可得t-$\frac{3}{2t}$＜$\frac{1}{2}$-3=-$\frac{5}{2}$，
可得-2a≥-$\frac{5}{2}$，解得0＜a≤$\frac{5}{4}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-2asinx+b
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+b=-sin²x-2asinx+$\frac{1}{2}$+b，
令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=-t²-2at+$\frac{1}{2}$+b，
對稱軸為t=-a＜0，
當(dāng)-a≤-1即a≥1時，[-1，1]為減區(qū)間，則t=-1取得最大值1，
t=1時，取得最小值-4，即有-1+2a+b+$\frac{1}{2}$=1，-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解得a=$\frac{5}{4}$，b=-1；
當(dāng)-1＜-a＜1即為0＜a＜1，t=-a取得最大值1，即為$\frac{1}{2}$+b+a²=1，
t=1時，取得最小值-4，即為-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解方程可得a=$\sqrt{5}$-1，b=2$\sqrt{5}$-$\frac{11}{2}$，顯然$\sqrt{5}$-1＞1不成立．
綜上可得a=$\frac{5}{4}$，b=-1．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和分類討論的思想方法，屬于中檔題．