Question

7．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂作兩條互相垂直的弦AB與CD，當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，|AB|+|CD|=7．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)可知|AB|=2a，$|{CD}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，結(jié)合$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）分別對(duì)兩條弦的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)、另一條弦的斜率不存在時(shí)易得結(jié)論；當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，通過(guò)設(shè)直線AB、CD的方程并分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式，可得|AB|+|CD|的表達(dá)式，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，直線CD垂直于x軸，
∴|AB|=2a，$|{CD}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，即 $|{AB}|+|{CD}|=2a+\frac{{2{b^2}}}{a}=7$，
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且a²=b²+c²，解得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，
由題意可知，|AB|+|CD|=7；
②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），則直線CD的方程為$y=-\frac{1}{k}（{x-1}）$，
將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3+4{k^2}}}$，
同理，$|{CD}|=\frac{{12（{\frac{1}{k^2}+1}）}}{{3+\frac{4}{k^2}}}=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+4}}$，
∴$|{AB}|+|{CD}|=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3+4{k^2}}}+\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+4}}=\frac{{84{{（{{k^2}+1}）}^2}}}{{（{3+4{k^2}}）（{3{k^2}+4}）}}$，
令t=k²+1，則t＞1，
∴$|{AB}|+|{CD}|=\frac{{84{t^2}}}{{（{4t-1}）（{3t+1}）}}=\frac{{84{t^2}}}{{12{t^2}+t-1}}=\frac{84}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}$，
∵t＞1，∴$0＜\frac{1}{t}＜1$，
∴$12＜-{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{49}{4}≤\frac{49}{4}$，∴$\frac{4}{49}≤\frac{1}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}＜\frac{1}{12}$，
∴$\frac{48}{7}≤\frac{84}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}＜7$，∴$\frac{48}{7}≤|{AB}|+|{CD}|＜7$，
綜合①②可知，|AB|+|CD|的取值范圍為：[$\frac{48}{7}$，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．