Question

8．如圖，某炮兵陣地位于A點(diǎn)，兩觀察所分別位于C、D兩點(diǎn)，已知△ACD為正三角形，且DC=$\sqrt{3}$km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B時(shí)，測(cè)得∠CDB=45°，∠BCD=75°，求炮兵陣地與目標(biāo)的距離是多少？（精確到0.01km）

Answer 1

分析 在△BCD中使用正弦定理求出BC，再在△ABC中使用余弦定理求出AB．

解答 解：∵∠CDB=45°，∠BCD=75°，∴∠CBD=60°．
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=\frac{BC}{sin45°}$，
解得BC=$\sqrt{2}$．
∵△ACD為正三角形，∴AC=$\sqrt{3}$，∠ACD=60°，∴∠ACB=135°．
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos∠ACB=2+3-2$\sqrt{3}$=5+2$\sqrt{3}$．
∴AB=$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$≈2.91（km）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．