Question

18．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的$\sqrt{2}$倍．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與橢圓M位于x軸上方的部分交于C，D兩點(diǎn)，過(guò)C，D兩點(diǎn)分別做CE，DF垂直x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若四邊形CEFD的面積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)分別求得a、b和c的值，即可寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)出C和D點(diǎn)坐標(biāo)及直線方程，將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得x₁+x₂和x₁•x₂，代入直線方程求得y₁+y₂，進(jìn)而求得x₁-x₂，利用梯形的面積公式，即可求得m的值，寫出直線方程．

解答 解：（1）由橢圓的性質(zhì)可知：c=1，2a=$\sqrt{2}$×2b，即a=$\sqrt{2}$b，
∵a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴橢圓M的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且x₁＞0，x₂＜0，直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，m＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{3}{4}{x}^{2}+xm+{m}^{2}-1=0$，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}m$，x₁•x₂=$\frac{4}{3}$（m²-1），
y₁+y₂=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）+2m=$\frac{4}{3}m$，
x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-2{m}^{2}}$，
四邊形CEFD的面積為S=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）•（x₁-x₂）=$\frac{8}{9}$m$\sqrt{3-2{m}^{2}}$，
∴$\frac{8}{9}$m$\sqrt{3-2{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
整理得：16m⁴-24m²+9=0，解得：m²=$\frac{3}{4}$，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直線l的方程y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本昰考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．