Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-4|-a），a∈R．
（1）當a=-2時，求f（x）≥3的解集；
（2）當函數(shù)f（x）的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論去絕對值當x＜1時，-（x-1）-（x-4）≥6，
當1≤x≤4時，x-1-（x-4）≥6，即3≥6，不成立；當x＞4時求解即可．
（2）根據(jù)|a|+|b|≥|a-b|求解即可得出|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，把不等式恒成立問題轉化為最值問題求解即可．

解答 （1）由題意得，當a=-2時，|x-1|+|x-4|+2≥8，即|x-1|+|x-4|≥6．
①當x＜1時，-（x-1）-（x-4）≥6，即5-2x≥6，∴x≤-$\frac{1}{2}$；
②當1≤x≤4時，x-1-（x-4）≥6，即3≥6，不成立；
③當x＞4時，x-1+x-4≥6，即2x≥11，∴x≥$\frac{11}{2}$．
綜上知，f（x）≥3的解集為{x|x≤-$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{11}{2}$．
（2）依題意知|x-1|+|x-4|＞a恒成立．而|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
∴a＜3，即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3）．

點評 本題考查了不等式的性質，對數(shù)函數(shù)的性質，不等式恒成立問題，屬于中檔題．